Explicación de las infinitas aplicaciones de los equilibrios de Nash: por qué John Nash fue un genio
El premio Nobel John F. Nash Jr murió en un accidente automovilístico el domingo.
El concepto de equilibrio de Nash es intuitivo, elegante y relativamente fácil de entender. Es lo suficientemente específico como para generar resultados y análisis significativos, pero lo suficientemente general como para ser extendido y aplicado a una variedad de disciplinas. John F. Nash Jr murió en un accidente automovilístico el domingo. Iba de camino a casa desde el aeropuerto de Newark, acababa de regresar de Noruega, donde recibió el prestigioso Premio Abel de Matemáticas. El trabajo de Nash sobre teoría de juegos, por el que obtuvo el Nobel de Economía en 1994 (es la única persona que ha ganado ambos honores) es probablemente el más conocido. El concepto de equilibrio de Nash es intuitivo, elegante y relativamente fácil de entender. Es lo suficientemente específico como para generar resultados y análisis significativos, pero lo suficientemente general como para ser extendido y aplicado a una variedad de disciplinas: biología evolutiva, economía, estudios de defensa y política, por ejemplo. Pero la comunidad matemática considera su trabajo en geometría y ecuaciones diferenciales parciales como el más importante y profundo, según su cita del Premio Abel.
Es increíble que tanto el trabajo ganador del Premio Nobel como el del Premio Abel de Nash se completaran cuando tenía 30 años. En 1958 escribió solo un artículo de 23 páginas sobre ecuaciones diferenciales parciales, y como señaló Harold W Kuhn durante el seminario Nobel en 1994 , los resultados por los que está siendo homenajeado esta semana se obtuvieron en sus primeros 14 meses de estudios de posgrado. De hecho, Nash llegó a Princeton como estudiante de doctorado con una carta de recomendación de una línea de R L Duffin del Carnegie Institute of Technology, donde era estudiante: este hombre es un genio. A W Tucker, asesor de tesis de Nash en Princeton, escribió años después: A veces he pensado que esta recomendación era extravagante, pero cuanto más conozco a Nash, más me inclino a estar de acuerdo en que Duffin tenía razón.
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Pero a principios de 1959, Nash comenzó a perder el control y comenzó a mostrar síntomas de esquizofrenia. Se volvió paranoico y delirante, y aparte de unos breves períodos de claridad, su investigación llegó a su fin durante unas cuatro décadas. Durante este mismo período, el nombre de Nash, el juego no cooperativo al que dio forma y definición, y su concepto de equilibrio se estaban convirtiendo en parte del entrenamiento básico de la teoría de juegos de los estudiantes universitarios.
Entonces, ¿qué es un juego no cooperativo? No es un juego en el que se descarta la cooperación debido a la estructura de las recompensas, como en un juego de suma cero, donde el beneficio de un jugador implica la pérdida de otro. Puede haber margen para la cooperación en el juego, pero está descartado porque no existe un mecanismo, como un contrato legalmente vinculante, para asegurar el compromiso con las estrategias colusorias.
Un juego simple y célebre no cooperativo es el Dilema del Prisionero (en la foto de arriba). Supongamos que dos conspiradores son arrestados e interrogados simultáneamente en habitaciones separadas. Cada uno tiene la opción de confesar o permanecer en silencio y se le ofrece un trato: si ella confiesa (pero el cómplice no lo hace), puede quedar libre mientras el cómplice irá a prisión durante 10 años. Pero si ambos optan por guardar silencio, irían a la cárcel durante un año cada uno por delitos menores. Y si ambos confiesan, irían a la cárcel durante ocho años cada uno.
El equilibrio único de Nash del juego es donde ambos jugadores confiesan. Curiosamente, ambos estarían mejor si ninguno confesara. Pero ese no es un equilibrio de Nash, que se define como un estado estable en el que ningún jugador puede mejorar el resultado por sí mismo dado lo que están haciendo los otros jugadores. Supongamos por un momento que ambos jugadores indican de alguna manera que elegirán no confesar. En tal situación, dado que el jugador B no confiesa, el jugador A estaría mejor si no cumpliera y optara por confesar: ningún tiempo en la cárcel es más atractivo que un año tras las rejas. Lo mismo es cierto para el jugador B. Por lo tanto, ambos se desviarían de su compromiso de guardar silencio y confesar en su lugar.
Las aplicaciones de los equilibrios de Nash y los juegos no cooperativos son infinitas. Por ejemplo, algunos en la India han notado que hoy en día, el capital privado parece estar esperando que se inicie el ciclo de inversión antes de invertir su propio dinero. Esta situación podría modelarse como un juego no cooperativo entre dos inversores potenciales, donde los beneficios de la inversión solo se materializan si ambos se hunden en su dinero. En tal juego, hay dos equilibrios de Nash: uno, donde ambos jugadores invierten, y dos, donde ninguno invierte. Parece que estamos atrapados en el mal equilibrio. Y aunque Nash pudo demostrar la existencia de al menos un equilibrio para un juego no cooperativo, la teoría no dice nada sobre por qué resulta uno en particular y no otro. Aquí es donde entran en juego el gobierno, la sociedad y las normas, para llevarnos de un mal equilibrio al bien.
parth.mehrotra@expressindia.com
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